Что значит правильный треугольник

Что значит правильный треугольник

Определение

Правильный треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны и каждый угол равен 60 градусам. Правильный треугольник еще называют равносторонним. О формуле правильного треугольника, и о том, как производить по ней вычисление площади фигуры – говорим ниже.

Рис. 1. Правильный треугольник.

Формулы правильного треугольника

Почти все формулы вытекают из утверждения о том, что правильный треугольник имеет 3 угла по 60 градусов и 3 одинаковые стороны.

Площадь

Начнем с формулы площади.

Треугольник высотой делиться на два, равных между собой прямоугольных треугольника. Теперь найдем значение высоты, подставим его в классическую формулу площади треугольника и получим формулу для правильного треугольника.

Рис. 2. Рисунок к доказательству.

В прямоугольном треугольнике АВМ катет АМ можно выразить через синус угла АВМ. Этот угол известен и равен 60 градусам, значит, известны и значения синуса и косинуса для этого угла. Катет АМ противолежащий, значит, для его нахождения необходимо воспользоваться формулой синуса.

С другой стороны синус 60 градусов заранее известнее и равен $sqrt <3>over 2$ . Значит можно выразить значение АМ:

Все стороны треугольника между собой равны, поэтому для удобства обозначим их через букву а.

Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Теперь вспомним классическую формулу площади треугольника:

$S= <1over2>h*a$, где а это основание треугольника, h – высота, проведенная к этому основанию. В заданном треугольнике это будет выглядеть следующим образом:

Получившаяся формула гораздо проще классических в плане количества необходимых параметров. Для нахождения площади правильного треугольника необходимо знать только значение одной из его сторон. Это возможно за счет равенства углов в таком треугольнике.

Только в правильном треугольнике возможно нахождение площади через значение одной стороны.

Периметр

Периметр найти еще проще, так как это сумма всех сторон треугольника, а они все равны между собой, то:

Подобный подход, где приравниваются стороны или используются свойства медиан и биссектрис равностороннего треугольника часто используется при решении подобных задач. У правильного треугольника нет и не может объема, так как это плоская фигура. У нее два характеризующих понятия: площадь и периметр.

Читайте также:  Как качать пресс сидя на стуле

В равностороннем треугольнике каждая биссектриса совпадает с медианой и высотой. Также совпадают и точки пересечения этих отрезков. Получившаяся точка зовется центром фигуры.

Рис. 3. Основные формулы правильного треугольника.

Что мы узнали?

Из статьи мы узнали, что у правильного треугольника все стороны и углы равны между собой. Мы узнали о свойствах биссектрисы, медианы и высоты – в правильном треугольнике это будет одна и та же линия. Ее можно проводить от любой вершины.

Треугольник Рёло — Построение треугольника Рёло Треугольник Рёло[* 1] предста … Википедия

правильный — I пра/вильный ая, ое; лен, льна, льно. см. тж. правильность 1) а) Соответствующий установленным правилам, не отступающий от существующих правил, норм, порядка. П ое произношение, написание. П ое физическое развитие ребёнка. П ое распределение… … Словарь многих выражений

правильный — 1) правильный ая, ое; лен, льна, льно. 1. Основанный на правилах (см. правило в 1 знач.), происходящий по правилам, соответствующий правилам. Правильное произношение. □ Слепота не помешала правильному физическому развитию, и влияние ее на… … Малый академический словарь

Правильный тетраэдр — Тетраэдр Тип Правильный многогранник Грань Правильный треугольник Вершин … Википедия

Правильный многоугольник — Правильный семиугольник Правильный многоугольник это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны . Определение правильного многоугольника может зависеть от определения … Википедия

Правильный семиугольник — Правильный семиугольник это правильный многоугольник с семью сторонами. Содержание … Википедия

Правильный шестиугольник — (гексагон) это правильный многоугольник с шестью сторонами … Википедия

Правильный девятиугольник — это правильный многоугольник с девятью сторонами. Свойства Правиль … Википедия

Правильный 17-угольник — Правильный семнадцатиугольник геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Содержание 1… … Википедия

Читайте также:  Фото девушек у моря в платье

Правильный семнадцатиугольник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Содержание … Википедия

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a = b = c = 2R
sin α sin β sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Читайте также:  Отзывы о данаболе

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

S = a · b · с
4R
S = p · r

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Ссылка на основную публикацию
Что делать чтобы удержать мужчину
Без обиняков! 25 мужских советов девушкам, как правильно вести себя с мужчиной, что говорить, что делать, как удержать его и...
Что дает тренажер велосипед
Категория: Польза и вред велотренажера Упражнения на велотренажёре — один из наиболее популярных способов постоянно поддерживать хорошую физическую форму. Для...
Что дают подтягивания на турнике
Среди упражнений, позволяющих работать с собственным весом, подтягивания на турнике считаются самыми распространенными и доступными. Они могут выполняться как в...
Что делают с камнями в почках
Если моча потемнела — это знак: неприятности на подходе. Камнями называют Kidney Stones: Symptoms and Causes твёрдые отложения солей, образующиеся...
Adblock detector